北京大学2000年研究生入学考试：概率统计与线性规划试题

　　一、（8分）假设事件A与Bi（i=1,2,...,n)相互独立，其中B1,B2,...,Bn两两不相容。证明A的补集与B1 B2 ... Bn相互独立。

　　二、（10分）已知随机变量X的分布函数为

　　试求将X标准化之后得到的变量Y（即Y＝(X－μ)/σ，其中μ和σ分别表示X的期望和标准差）的分布函数。

　　三、（12分）设（X,Y)的联合密度函数为

　　其中，c是某个待定常数。

　　试求：1、P｛X＋Y＞1｜X>0};

　　2、X与Y是否相互独立。

　　四、（8分）在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松（Poisson)分布，根据以往大量的随机观测平均每小时有36.73人候车，请问一小时内最可能在此车站候车的人数是多少？

　　五、（12分）设总体服从区间[0,θ]上（θ＞0）的均匀分布，X1,X2,...,Xn是从中抽取的一个简单随机样本。

　　试求：1、θ的最大似然估计；

　　2、θ的一个置信度为1-α的置信区间(α>0)。

　　六、（10分）某个厂家生产的10件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了n次，结果没有抽到次品，并由此接受这10件产品中没有次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误？为了使得甲犯该类型错误的最大概率不超过60，他至少需要抽取多少次？

　　八、(6分)试证明：若线性规划有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。

　　九、(12分)线性规划的目标函数是Maxz，在用标准的单纯型法求解的过程中，得到下表(其中a,b是常数，部分数据有缺失)：

　　

C258000
CbXbBX1X2X3X4X5X6
　X6200　3　0　
　X2BA　　　1/2　
　X48-2　-1　1　
Cj-Zj　　　-2　　　



　　1)在答卷纸上画出此单纯型表，并在所有空格中填上适当的数(其中可含参数a,b)。

　　2)判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。

　　(1)此解为最优解？请写出相应的基解和目标函数值。

　　(2)此解为最优解，此规划又有无穷多最优解？

　　(3)此规划有无界解？

　　(4)此解不是最优解，且能用单纯型法得到一下一个基解。

　　十、(12分)某地区有三个煤矿，专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下(单位：元/吨)：。已知三个煤矿的产量分别为25000吨，18000吨，17000吨；四个城镇的需求量分别为12000吨，15000吨，18000吨，24000吨。若不能满足需求，各城市的最低需求分别为8000吨，10000吨，12000吨，15000吨。

　　(1)试建立使本地区四城镇煤炭运费最小的线性规划模型。

　　(2)写出此线性规划的对偶规划